Fonctions polynomiales

Algèbre · Section A

Denis Dréano

1M02 · Gymnase du Bugnon

2026-03-10

Objectifs

1. Reconnaître une fonction polynomiale et identifier son degré
2. Factoriser un polynôme du second degré
3. Résoudre une équation polynomiale

Définitions

Fonctions et degré

Définition — Polynôme

▷ Définition

Un polynôme de degré \(n\) est une expression de la forme : \[P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\] avec \(a_n \neq 0\).

Le coefficient \(a_n\) est appelé coefficient dominant.

Exemples vs Non-exemples

Polynômes

• \(P(x) = 3x^2 - x + 7\)
• \(Q(x) = x^5 - 1\)
• \(R(x) = 4\) (degré 0)

Non-polynômes

• \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
• \(g(x) = \sqrt{x}\)
• \(h(x) = 2^x\)

Factorisation — Code et annotations

def discriminant(a, b, c):
    return b**2 - 4*a*c          # (1)

def racines(a, b, c):
    delta = discriminant(a, b, c)
    if delta < 0:
        return []                # (2)
    elif delta == 0:
        return [-b / (2*a)]      # (3)
    else:
        import math
        r1 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)
        r2 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)
        return [r1, r2]          # (4)

1. Discriminant · (2) Pas de racine réelle · (3) Racine double · (4) Deux racines distinctes

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Code avec annotations latérales

a, b, c = 1, -5, 6
delta = b**2 - 4*a*c

1. Coefficients du trinôme \(x^2 - 5x + 6\)
2. \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\)
3. Deux racines : \(x = 2\) et \(x = 3\)

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Tableau des signes

Intervalle	\(x-2\)	\(x-3\)	\(P(x)\)
\(x < 2\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(x = 2\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)
\(2 < x < 3\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(x = 3\)	\(+\)	\(0\)	\(0\)
\(x > 3\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

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Citation

“Every polynomial of odd degree with real coefficients has at least one real root.”

Fondement du théorème des valeurs intermédiaires — Bolzano (1817)

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Pour la prochaine fois

1. Feuille ALG-A-01-E — exercices 1 à 5
2. Relire la définition du discriminant
3. Préparer les questions sur la factorisation