Le binaire : révisions et exercices

Denis Dréano

INFO1-03

Le binaire : révisions et exercices

Objectifs cantonaux : O2.3. Semaine dédoublée (×2, groupes A/B séparés).

Cours complet sur la plateforme Runestone de Cédric Donner : Entraînement — binaire.

Séance d’entraînement pour consolider le système binaire vu la semaine dernière, avant d’enchaîner sur des exercices un peu plus poussés : addition binaire, dénombrement d’états, et va-et-vient entre bases.

Rappel express

▷ À retenir

Le binaire utilise des « billets » de valeur \(2^0, 2^1, 2^2, \ldots\), avec au maximum une seule carte de chaque valeur.
La position d’un 1 dans le nombre indique quelle carte est utilisée ; un 0 indique qu’elle ne l’est pas.
On peut vérifier n’importe quelle conversion avec bin(n) et int(texte, 2) en Python.

Additionner deux nombres binaires

◈ Méthode

Pour additionner deux nombres en représentation-cartes binaire :

disposer les cartes des deux nombres de façon à ce que les colonnes de même valeur soient alignées ;
dès qu’une colonne contient deux cartes de même valeur, les échanger contre une seule carte de la catégorie supérieure ;
répéter jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une seule carte par valeur.

→ Exemple — 101₂ + 11₂

\(101_2\) est représenté par les cartes \(1\) et \(4\).
\(11_2\) est représenté par les cartes \(1\) et \(2\).
En additionnant, on obtient deux cartes de \(1\) : on les échange contre une carte de \(2\).
On a alors deux cartes de \(2\) : on les échange contre une carte de \(4\).
On a alors deux cartes de \(4\) : on les échange contre une carte de \(8\).
Il ne reste qu’une carte de \(8\) : le résultat est \(1000_2\).

Donc \(101_2 + 11_2 = 1000_2\) (vérification en décimal : \(5 + 3 = 8\)).

Les mains à la pâte

Calculez : \(11010_2 + 1001_2\), \(1111_2 + 1_2\), \(10101_2 + 1010_2\), \(1111_2 + 1111_2\).
Écrivez le plus grand nombre binaire à 5 chiffres et convertissez-le en décimal. Que remarquez-vous par rapport à \(2^5\) ?
Un ordinateur possède une mémoire constituée de quatre circuits mémoire d’un bit chacun. Combien d’états différents cette mémoire peut-elle représenter ? Même question pour dix circuits, puis pour 34 millions de circuits.
On veut représenter chacune des sept couleurs de l’arc-en-ciel par un mot binaire (sept mots différents). Quelle est la longueur minimale de ces mots ? Même question pour les 26 lettres de l’alphabet.
Trouvez trois informations de la vie courante qui peuvent être représentées par un seul bit (une réponse « oui/non »), puis deux informations qui ne peuvent pas l’être aussi simplement.

! Lien avec le nombre de bits

Avec \(n\) bits, on peut représenter exactement \(2^n\) états différents (de \(0\) à \(2^n - 1\)). C’est ce principe qui détermine, par exemple, combien de couleurs ou de caractères différents peuvent être codés avec un nombre donné de bits — une idée qui reviendra plus tard dans le cours.